Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.1.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.1.1.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Langkah 1.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 1.2.3

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 1.2.3.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.3.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.3.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.3.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.3.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.4

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 1.2.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 1.2.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $2 \cos^{2} (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 \cos^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1^{2}$

Langkah 1.4.1.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $\frac{π}{2}$ untuk $x$ .

$2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 \cdot 0$

Langkah 1.4.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + π n, 2), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(\frac{π}{2}, 0)$

Langkah 3

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Langkah 3.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 4 \cos (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 4 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.66458734 \sin (- 2)$

Langkah 3.2.2.3

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.66458734 \cdot - 0.90929742$

Langkah 3.2.2.4

Kalikan $1.66458734$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 1.51360499$

Langkah 3.2.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 1.51360499$ .

$- 1.51360499$

Langkah 3.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $1$ , dari interval $(0, \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $- 4 \cos (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 4 \cos (1) \sin (1)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Evaluasi $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 4 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $0.5403023$ .

$f' (1) = - 2.16120922 \sin (1)$

Langkah 3.3.2.3

Evaluasi $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 2.16120922 \cdot 0.84147098$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 2.16120922$ dengan $0.84147098$ .

$f' (1) = - 1.81859485$

Langkah 3.3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 1.81859485$ .

$- 1.81859485$

Langkah 3.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(\frac{π}{2}, π)$ dalam turunan pertama $- 4 \cos (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 4 \cos (2) \sin (2)$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Evaluasi $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 1.66458734 \sin (2)$

Langkah 3.4.2.3

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = 1.66458734 \cdot 0.90929742$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $1.66458734$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = 1.51360499$

Langkah 3.4.2.5

Jawaban akhirnya adalah $1.51360499$ .

$1.51360499$

Langkah 3.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(π, \infty)$ dalam turunan pertama $- 4 \cos (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = - 4 \cos (6) \sin (6)$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Evaluasi $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 4 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $0.96017028$ .

$f' (6) = - 3.84068114 \sin (6)$

Langkah 3.5.2.3

Evaluasi $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3.84068114 \cdot - 0.27941549$

Langkah 3.5.2.4

Kalikan $- 3.84068114$ dengan $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 1.07314583$

Langkah 3.5.2.5

Jawaban akhirnya adalah $1.07314583$ .

$1.07314583$

Langkah 3.6

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 3.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = \frac{π}{2}$ , maka $x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 3.8

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = π$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 3.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Minimum Mutlak: $(\frac{π}{2}, 0)$

Langkah 5