Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Langkah 1.1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x + \frac{π}{4})$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2.2

Bagilah $\sin (x + \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 1.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Langkah 1.2.5

Kurangkan $\frac{π}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Langkah 1.2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Langkah 1.2.7.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Kurangkan $\frac{π}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = π - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.7.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.7.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.5.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 1.2.8

Tentukan periode dari $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.8.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.9

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Langkah 1.2.9.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.9.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.9.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 1.2.9.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Langkah 1.2.9.4.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 1.2.9.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 1.2.10

Periode dari fungsi $\sin (x + \frac{π}{4})$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.11

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\cos (x + \frac{π}{4})$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\frac{3 π}{4}$ untuk $x$ .

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 1.4.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\cos (π)$

Langkah 1.4.1.2.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \cos (0)$

Langkah 1.4.1.2.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = \frac{7 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $\frac{7 π}{4}$ untuk $x$ .

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.2

Tambahkan $7 π$ dan $π$ .

$\cos (\frac{8 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1

Faktorkan $4$ dari $8 π$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Langkah 1.4.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Langkah 1.4.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Langkah 1.4.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (\frac{2 π}{1})$

Langkah 1.4.2.2.3.2.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$\cos (2 π)$

Langkah 1.4.2.2.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\cos (0)$

Langkah 1.4.2.2.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Langkah 3.1.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $2 π$ untuk $x$ .

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Langkah 3.2.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Langkah 3.2.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

Langkah 3.2.2.3.2

Tambahkan $8 π$ dan $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{4})$

Langkah 3.2.2.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Langkah 3.2.2.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(\frac{7 π}{4}, 1)$

Minimum Mutlak: $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Langkah 5