Kalkulus Contoh

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.2.2

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 1.1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 1.1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Langkah 1.1.1.3.2

Turunan dari $\cos (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Langkah 1.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $2 \sin (θ)$ dari $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $\sin (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $\sin (θ)$ sama dengan $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $\sin (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ = \arcsin (0)$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 1.2.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - 0$

Langkah 1.2.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$θ = π$

Langkah 1.2.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.5

Atur $- \cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $- \cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $- \cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- \cos (θ) = 1$

Langkah 1.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- \cos (θ) = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (θ) = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Langkah 1.2.5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- 1)$

Langkah 1.2.5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$θ = π$

Langkah 1.2.5.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 2 π - π$

Langkah 1.2.5.2.6

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$θ = π$

Langkah 1.2.5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ benar.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.7

Gabungkan jawabannya.

$θ = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ di setiap nilai $θ$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $θ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 1^{2}$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 + 1$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $θ = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $π$ untuk $θ$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Langkah 1.4.2.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 1$

Langkah 1.4.2.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$- 1$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $θ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $0$ untuk $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Langkah 3.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 1^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 + 1$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $θ = 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $2 π$ untuk $θ$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Langkah 3.2.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 1^{2}$

Langkah 3.2.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 + 1$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (θ)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $θ$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (θ)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (θ)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, 3), (2 π, 3)$

Minimum Mutlak: $(π, - 1)$

Langkah 5