Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(x - 10)}^{2}$ ; $[0, 10]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali ${(x - 10)}^{2}$ sebagai $(x - 10) (x - 10)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 10) (x - 10))]$

Langkah 1.1.1.2

Perluas $(x - 10) (x - 10)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 10) - 10 (x - 10))]$

Langkah 1.1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10))]$

Langkah 1.1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Langkah 1.1.1.3.1.2

Pindahkan $- 10$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Langkah 1.1.1.3.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $- 10$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100)]$

Langkah 1.1.1.3.2

Kurangi $10 x$ dengan $- 10 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 20 x + 100)]$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - 20 x + 100$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 20 x + 100] + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 20 x + 100$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.3

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20 x$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.5

Kalikan $- 20$ dengan $1$ .

$x (2 x - 20 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.6

Karena $100$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $100$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (2 x - 20 + 0) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.7

Tambahkan $2 x - 20$ dan $0$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \cdot 1$

Langkah 1.1.1.5.9

Kalikan $x^{2} - 20 x + 100$ dengan $1$ .

$x (2 x - 20) + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x (2 x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.5

Pindahkan $- 20$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 x^{2} - 20 \cdot x + x^{2} - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.6

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x - 20 x + 100$

Langkah 1.1.1.6.2.7

Kurangi $20 x$ dengan $- 20 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 40 x + 100$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 40$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $- 40$ dari $- 40 x$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Tulis kembali $- 40$ sebagai $- 10$ ditambah $- 30$

$3 x^{2} + (- 10 - 30) x + 100 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 10 x - 30 x + 100 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 10 x) - 30 x + 100 = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x - 10) - 10 (3 x - 10) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 10$ .

$(3 x - 10) (x - 10) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $3 x - 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $3 x - 10$ sama dengan $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $3 x - 10 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 10$

Langkah 1.2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 10$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 10$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 10$ sama dengan $0$ .

$x - 10 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 10$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 10) (x - 10) = 0$ benar.

$x = \frac{10}{3}, 10$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x {(x - 10)}^{2}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \frac{10}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\frac{10}{3}$ untuk $x$ .

$(\frac{10}{3}) {((\frac{10}{3}) - 10)}^{2}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Untuk menuliskan $- 10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.2

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $- 10$ dengan $3$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 30}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kurangi $30$ dengan $10$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{- 20}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{10}{3} {(- \frac{20}{3})}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.6

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{20}{3})}^{2})$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Langkah 1.4.1.2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{10}{3} (1 \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $\frac{20^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{20^{2}}{3^{2}}$

Langkah 1.4.1.2.8

Gabungkan.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $3$ dengan $3^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.9.1

Kalikan $3$ dengan $3^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.9.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Langkah 1.4.1.2.9.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1 + 2}}$

Langkah 1.4.1.2.9.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{3}}$

Langkah 1.4.1.2.10

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{10 \cdot 400}{3^{3}}$

Langkah 1.4.1.2.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{10 \cdot 400}{27}$

Langkah 1.4.1.2.12

Kalikan $10$ dengan $400$ .

$\frac{4000}{27}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $10$ untuk $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Kurangi $10$ dengan $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$10 \cdot 0$

Langkah 1.4.2.2.3

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27}), (10, 0)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$(0) {((0) - 10)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kurangi $10$ dengan $0$ .

$0 {(- 10)}^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $2$ .

$0 \cdot 100$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $100$ .

$0$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $10$ untuk $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kurangi $10$ dengan $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Langkah 2.2.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$10 \cdot 0$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (10, 0)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27})$

Minimum Mutlak: $(0, 0), (10, 0)$

Langkah 4