Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 16 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 5.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 5.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 5.6

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 5.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 5.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2, 2$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - 2, 2$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(0)}^{2} - 16$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0 - 16$

Langkah 9.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 - 16$

Langkah 9.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$- 16$

Langkah 10

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(- 2)}^{2} - 16$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Langkah 13.1.2

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$48 - 16$

Langkah 13.2

Kurangi $16$ dengan $48$ .

$32$

Langkah 14

$x = - 2$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Langkah 15.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 16 - 8 \cdot 4$

Langkah 15.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$f (- 2) = 16 - 32$

Langkah 15.2.2

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$f (- 2) = - 16$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$y = - 16$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(2)}^{2} - 16$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Langkah 17.1.2

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$48 - 16$

Langkah 17.2

Kurangi $16$ dengan $48$ .

$32$

Langkah 18

$x = 2$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2}$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (2) = 16 - 8 {(2)}^{2}$

Langkah 19.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 16 - 8 \cdot 4$

Langkah 19.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$f (2) = 16 - 32$

Langkah 19.2.2

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$f (2) = - 16$

Langkah 19.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$y = - 16$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ .

$(0, 0)$ adalah maksimum lokal

$(- 2, - 16)$ adalah minimum lokal

$(2, - 16)$ adalah minimum lokal

Langkah 21