Kalkulus Contoh

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 8$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Karena $- 8$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 8$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1.1

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1.1.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.1.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Kurangi $t^{2}$ dengan $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Faktorkan $t$ dari $t^{2} - 16 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.2

Faktorkan $t$ dari $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.3

Faktorkan $t$ dari $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$t (t - 16) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Langkah 1.2.3.2

Atur $t$ sama dengan $0$ .

$t = 0$

Langkah 1.2.3.3

Atur $t - 16$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Atur $t - 16$ sama dengan $0$ .

$t - 16 = 0$

Langkah 1.2.3.3.2

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$t = 16$

Langkah 1.2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $t (t - 16) = 0$ benar.

$t = 0, 16$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Atur $t - 8$ agar sama dengan $0$ .

$t - 8 = 0$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$t = 8$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{t^{2}}{t - 8}$ di setiap nilai $t$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Langkah 1.4.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $- 8$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $t = 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $16$ untuk $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $16$ .

$\frac{256}{8}$

Langkah 1.4.2.2.3

Bagilah $256$ dengan $8$ .

$32$

Langkah 1.4.3

Evaluasi pada $t = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan $8$ untuk $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Langkah 1.4.3.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (16, 32)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $t = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kurangi $8$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Langkah 3.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $- 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Langkah 3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Langkah 3.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Langkah 3.1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- 5}$

Langkah 3.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{5}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $t = - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $- \frac{1}{4}$ untuk $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.1.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.1.6

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Untuk menuliskan $- 8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 3.2.2.2.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Langkah 3.2.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Langkah 3.2.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.4.1

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Langkah 3.2.2.2.4.2

Kurangi $32$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Langkah 3.2.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Langkah 3.2.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Langkah 3.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{33}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Langkah 3.2.2.4.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Langkah 3.2.2.4.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Langkah 3.2.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Langkah 3.2.2.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Langkah 3.2.2.5

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Langkah 3.2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.6.1

Kalikan $4$ dengan $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Langkah 3.2.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{132}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (t)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $t$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (t)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (t)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Minimum Mutlak: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Langkah 5