Kalkulus Contoh

$f (θ) = 1 - \sin^{2} (θ)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \sin^{2} (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $1$ terhadap $θ$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- \sin^{2} (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (θ)$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Langkah 1.1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Langkah 1.1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (θ)$ .

$0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Langkah 1.1.1.2.3

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Langkah 1.1.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Kurangi $2 \sin (θ) \cos (θ)$ dengan $0$ .

$- 2 \sin (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.1.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$\sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.3

Atur $\cos (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $\cos (θ)$ sama dengan $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Langkah 1.2.3.2

Selesaikan $\cos (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (0)$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 1.2.3.2.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.3.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.3.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.3.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.3.2.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.4

Atur $\sin (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $\sin (θ)$ sama dengan $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $\sin (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ = \arcsin (0)$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 1.2.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - 0$

Langkah 1.2.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$θ = π$

Langkah 1.2.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 2 \cos (θ) \sin (θ) = 0$ benar.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.6

Gabungkan jawabannya.

$θ = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $1 - \sin^{2} (θ)$ di setiap nilai $θ$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $θ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $θ$ .

$1 - \sin^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\cos^{2} (0)$

Langkah 1.4.1.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1^{2}$

Langkah 1.4.1.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $θ = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $\frac{π}{2}$ untuk $θ$ .

$1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 1.4.2.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + π n, 1), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(π, 1), (\frac{π}{2}, 0)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $θ = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $θ$ .

$1 - \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 3.1.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Langkah 3.1.2.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2^{1}}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2}{2^{2}}$

Langkah 3.1.2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2}{4}$

Langkah 3.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Langkah 3.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $θ = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $π$ untuk $θ$ .

$1 - \sin^{2} (π)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\cos^{2} (π)$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

${(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 3.2.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

${(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 3.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(- 1)}^{2}$

Langkah 3.2.2.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (π, 1)$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (θ)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $θ$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (θ)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (θ)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(π, 1)$

Minimum Mutlak: $(\frac{π}{2}, 0)$

Langkah 5