Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{a}$ dan $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ .

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{b}$ dan $g (x) = 1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - x$ .

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = b$ .

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $b {(1 - x)}^{b - 1}$ .

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.6.3

Tulis kembali $- 1 b$ sebagai $- b$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Langkah 1.1.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = a$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

Langkah 1.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

Langkah 1.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ .

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$0^{a} \cdot 1^{b}$

Langkah 2.1.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0^{a} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $0^{a}$ dengan $1$ .

$0^{a}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan ${(1 - (1))}^{b}$ dengan $1$ .

${(1 - (1))}^{b}$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(1 - 1)}^{b}$

Langkah 2.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0^{b}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 4