Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.1.2.4

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x = π$

Langkah 1.2.3.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.3.5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.3.5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.3.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.2.1

Sederhanakan $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = 4 π - π$

Langkah 1.2.3.5.2.2.1.6

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = 3 π$

Langkah 1.2.3.6

Tentukan periode dari $\cos (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.3.6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.3.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 1.2.3.6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 1.2.3.7

Periode dari fungsi $\cos (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.4

Gabungkan jawabannya.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\sin (\frac{x}{2})$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $π$ untuk $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.4.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 3 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $3 π$ untuk $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.4.2.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.4.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(π, 1)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $\frac{π}{2}$ untuk $x$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Langkah 3.1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $\frac{3 π}{2}$ untuk $x$ .

$\sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 3.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sin (\frac{3 π}{4})$

Langkah 3.2.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\sin (\frac{π}{4})$

Langkah 3.2.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(π, 1)$

Minimum Mutlak: $(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 5