Kalkulus Contoh

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \sqrt{t} - t$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.10

Gabungkan $4$ dan $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.11

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.12

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.13.1

Faktorkan $2$ dari $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.2.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Langkah 1.2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

Langkah 1.2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $t^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Kalikan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

Langkah 1.2.5.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Langkah 1.2.5.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1.1

Sederhanakan ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 1.2.5.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t^{1} = 2^{2}$

Langkah 1.2.5.3.1.1.2

Sederhanakan.

$t = 2^{2}$

Langkah 1.2.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$t = 4$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

Langkah 1.3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

Langkah 1.3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{\sqrt{t}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{t} = 0$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t^{1} = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$t = 0^{2}$

Langkah 1.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$t = 0$

Langkah 1.3.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{t}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$t < 0$

Langkah 1.3.5

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 1.4

Evaluasi $4 \sqrt{t} - t$ di setiap nilai $t$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $t = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $4$ untuk $t$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$4 \sqrt{4} - (4)$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4 \cdot 2 - (4)$

Langkah 1.4.1.2.2.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$8 - (4)$

Langkah 1.4.1.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$8 - 4$

Langkah 1.4.1.2.3

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$4$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Langkah 1.4.2.2.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Langkah 1.4.2.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4 \cdot 0 - (0)$

Langkah 1.4.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 - (0)$

Langkah 1.4.2.2.5

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(4, 4), (0, 0)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Langkah 2.1.2.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Langkah 2.1.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4 \cdot 0 - (0)$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 - (0)$

Langkah 2.1.2.5

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $t = 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $16$ untuk $t$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$4 \sqrt{16} - (16)$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

Langkah 2.2.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4 \cdot 4 - (16)$

Langkah 2.2.2.2.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 - (16)$

Langkah 2.2.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$16 - 16$

Langkah 2.2.2.3

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$0$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (16, 0)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (t)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $t$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (t)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (t)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(4, 4)$

Minimum Mutlak: $(0, 0), (16, 0)$

Langkah 4