Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Langkah 1.1.1.3.2

Tambahkan $3 x^{2} - 6 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2} - 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $3 x$ dari $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 x (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 1$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 1$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$8 - 12 + 1$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Kurangi $12$ dengan $8$ .

$- 4 + 1$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$- 3$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 1), (2, - 3)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2.1.5

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

Langkah 2.1.2.1.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Langkah 2.1.2.1.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Langkah 2.1.2.1.7

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Langkah 2.1.2.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Langkah 2.1.2.1.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

Langkah 2.1.2.1.10

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

Langkah 2.1.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

Langkah 2.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Langkah 2.1.2.2.3

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Langkah 2.1.2.2.4

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 2.1.2.2.5

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Langkah 2.1.2.2.6

Susun kembali faktor-faktor dari $4 \cdot 2$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Langkah 2.1.2.2.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

Langkah 2.1.2.4.2

Kurangi $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

Langkah 2.1.2.4.3

Tambahkan $- 7$ dan $8$ .

$\frac{1}{8}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

Langkah 2.2.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $16$ .

$64 - 48 + 1$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kurangi $48$ dengan $64$ .

$16 + 1$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$17$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(4, 17)$

Minimum Mutlak: $(2, - 3)$

Langkah 4