Kalkulus Contoh

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 4$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Langkah 1.9.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Langkah 1.10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Langkah 1.10.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Langkah 1.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Langkah 1.10.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Langkah 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 2$ dan $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.4.2

Kalikan $x + 2$ dengan $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.8.2

Kalikan $x - 2$ dengan $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.8.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.5.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pindahkan $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.6.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.6.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Langkah 2.9.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.2

Perluas $(- 2 x - 4) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3.2

Kurangi $4 x$ dengan $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.3.3

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.2.3

Tambahkan $0$ dan $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Langkah 2.10.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Langkah 2.10.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.10.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.10.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Langkah 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Langkah 4.1.9.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.10.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.10.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.10.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 5.3.2

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 5.3.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 5.3.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 5.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 2) = 0$ benar.

$x = - 2, 2$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.3.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 2, 2$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan ${(- 2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 9.1.2

Faktorkan $- 2$ dari $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 9.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Faktorkan $- 2$ dari ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 9.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 9.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Langkah 9.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4}$

Langkah 10

$x = - 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Langkah 11.2.1.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Langkah 11.2.2.2

Bagilah $8$ dengan $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan ${(2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Langkah 13.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Faktorkan $2$ dari ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Langkah 13.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Langkah 13.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2^{2}}$

Langkah 13.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 14

$x = 2$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Langkah 15.2.1.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Langkah 15.2.2.2

Bagilah $8$ dengan $8$ .

$g (2) = 1$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ adalah maksimum lokal

$(2, 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 17