Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Kalikan $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.10.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x^{2} = - 4$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x^{2} = - 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x^{2} = - 4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 1.2.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 1.2.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 1.2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 1.2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4}{1 + 1}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4}{2}$

Langkah 1.4.1.2.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$2$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Langkah 1.4.2.2.3

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$- 2$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(- 1, - 2)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 1}$

Langkah 3.1.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$\frac{- 16}{17}$

Langkah 3.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16}{17}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 3.2.2.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, 0)$

Minimum Mutlak: $(- 1, - 2)$

Langkah 5