Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $[- 2, - 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.1.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.4.5.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.8

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.8.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.8.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.8.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.2.2

Tambahkan $- 4 x^{2} + 2 x$ dan $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.2.3

Tambahkan $- 4 x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.3

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.3.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.3.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.3.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x + 1$ dan ${(x - 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4.4

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4.5

Faktorkan $x - 1$ dari $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.1.5.4.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.4.6.1

Faktorkan $x - 1$ dari ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.1.5.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.1.5.4.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.1.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.1.5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Langkah 1.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 1.4.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Langkah 1.4.2.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Langkah 1.4.2.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

Langkah 3

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 5