Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Langkah 1.1.1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) + 5 (- \sin (x))$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f' (x) = 5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \cos (x) - 5 \sin (x)$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$

Langkah 1.2.2

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.3.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$5 + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.4

Pisahkan pecahan.

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.5

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.6

Bagilah $- 5$ dengan $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.7

Pisahkan pecahan.

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 1.2.9

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Langkah 1.2.10

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0$

Langkah 1.2.11

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 5 \tan (x) = - 5$

Langkah 1.2.12

Bagi setiap suku pada $- 5 \tan (x) = - 5$ dengan $- 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Bagilah setiap suku di $- 5 \tan (x) = - 5$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Langkah 1.2.12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Langkah 1.2.12.2.1.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{- 5}$

Langkah 1.2.12.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.3.1

Bagilah $- 5$ dengan $- 5$ .

$\tan (x) = 1$

Langkah 1.2.13

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 1.2.14

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.14.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.15

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.16

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.16.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.16.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.16.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 1.2.16.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 1.2.16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.16.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 1.2.16.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 1.2.17

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.17.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 1.2.17.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.17.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 1.2.17.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 1.2.18

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $x$ .

$5 \sin (\frac{π}{4}) + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Gabungkan $5$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $5 \sqrt{2}$ dan $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.1.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

Langkah 1.4.1.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 1.4.1.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

Langkah 1.4.1.2.2.3.2.4

Bagilah $5 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$5 \sqrt{2}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = \frac{5 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $\frac{5 π}{4}$ untuk $x$ .

$5 \sin (\frac{5 π}{4}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$5 (- \sin (\frac{π}{4})) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- 5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.1.3.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Langkah 1.4.2.2.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 1.4.2.2.1.7

Kalikan $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.7.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Kurangi $5 \sqrt{2}$ dengan $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.2.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2}$

Langkah 1.4.2.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 1.4.2.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.2.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{1}$

Langkah 1.4.2.2.2.3.2.4

Bagilah $- 5 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- 5 \sqrt{2}$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 5 \sqrt{2})$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (0)$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (0)$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Langkah 3.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$0 + 5$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$5$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $2 π$ untuk $x$ .

$5 \sin (2 π) + 5 \cos (2 π)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$0 + 5 \cos (2 π)$

Langkah 3.2.2.1.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Langkah 3.2.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Langkah 3.2.2.1.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$0 + 5$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$5$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 5), (2 π, 5)$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2})$

Minimum Mutlak: $(\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Langkah 5