Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x) - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x} = 1$

Langkah 1.2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 1.2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} = 1$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} = 1$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = 1 x$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 = x$

Langkah 1.2.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $\ln (x) - x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$0 - (1)$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Langkah 1.4.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, - 1)$

Langkah 2

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 2.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 1)$ dalam turunan pertama $\frac{1}{x} - 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 2.2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Langkah 2.2.2.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 2.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Langkah 2.2.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Langkah 2.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(1, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{1}{x} - 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Langkah 2.3.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Langkah 2.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Langkah 2.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 1$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 2.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = \ln (x) - x$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 4