Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ , $[- 2, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} - 4 x + 0$

Langkah 1.1.1.4.2

Tambahkan $x^{2} - 4 x$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} - 4 x$ .

$x^{2} - 4 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} - 4 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x - 4) = 0$ benar.

$x = 0, 4$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 4$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 4$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 4$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 4$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$4$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Tulis $- 2 {(4)}^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} + 4$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + 4$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.1.6

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{64 - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{64 - 2 \cdot 16 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3.3

Kalikan $- 2 \cdot 16 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.3.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$\frac{64 - 32 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3.3.2

Kalikan $- 32$ dengan $3$ .

$\frac{64 - 96 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{64 - 96 + 12}{3}$

Langkah 1.4.2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.4.1

Kurangi $96$ dengan $64$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Langkah 1.4.2.2.4.2

Tambahkan $- 32$ dan $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Langkah 1.4.2.2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20}{3}$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 4), (4, - \frac{20}{3})$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(0, 4)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Langkah 3.1.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan ${(- 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.3.1

Kalikan $- 2$ dengan ${(- 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.3.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} + 4$

Langkah 3.1.2.1.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 4$

Langkah 3.1.2.1.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{3} + 4$

Langkah 3.1.2.1.4

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{8}{3} - 8 + 4$

Langkah 3.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tulis $- 8$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 4$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $\frac{- 8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Langkah 3.1.2.2.3

Kalikan $\frac{- 8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 4$

Langkah 3.1.2.2.4

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Langkah 3.1.2.2.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.1.2.2.6

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.1.2.4.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 12}{3}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Kurangi $24$ dengan $- 8$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Langkah 3.1.2.5.2

Tambahkan $- 32$ dan $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Langkah 3.1.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20}{3}$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Langkah 3.2.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 4$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} - 2 + 4$

Langkah 3.2.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Tulis $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 4$

Langkah 3.2.2.2.2

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Langkah 3.2.2.2.3

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 4$

Langkah 3.2.2.2.4

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Langkah 3.2.2.2.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.2.2.2.6

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{1 - 6 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.2.2.4.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{1 - 6 + 12}{3}$

Langkah 3.2.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.5.1

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$\frac{- 5 + 12}{3}$

Langkah 3.2.2.5.2

Tambahkan $- 5$ dan $12$ .

$\frac{7}{3}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, - \frac{20}{3}), (1, \frac{7}{3})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, 4)$

Minimum Mutlak: $(- 2, - \frac{20}{3})$

Langkah 5