Kalkulus Contoh

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan^{-1} (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\tan^{-1} (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Langkah 1.1.1.2.3.2

Gabungkan $\frac{2}{1 + x^{4}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Langkah 1.1.1.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\tan^{-1} (x^{2})$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Langkah 1.4.1.2.2

Nilai eksak dari $\tan^{-1} (0)$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Langkah 2.2.2.2

Evaluasi $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Minimum Mutlak: $(0, 0)$

Langkah 4