Kalkulus Contoh

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 16$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

Langkah 1.2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.3.9

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.4

Karena $23$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $23$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 1.6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ ke kedua sisi persamaan.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.2

Bagi setiap suku pada $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $6 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Bagilah setiap suku di $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Langkah 1.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Langkah 1.6.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Langkah 1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Langkah 1.6.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Langkah 1.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Langkah 1.6.2.3.2

Gabungkan.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

Langkah 1.6.2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.3.3.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

Langkah 1.6.2.3.3.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

Langkah 1.6.2.3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8

Evaluasi pada $x = 16$ dan $y = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Ganti variabel $x$ dengan $16$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.2

Ganti variabel $y$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.8.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.8.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

Langkah 1.8.4.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Langkah 1.8.5

Kalikan $36$ dengan $4$ .

$\frac{1}{144}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{144}$ dan titik yang diberikan $(16, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{144}$ dan $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $16$ dari $144$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $27$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

Langkah 3