Kalkulus Contoh

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = \frac{1}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $1 + 11 x^{2}$ dengan $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 11 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.6

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.7

Kalikan $11$ dengan $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.9

Kalikan $2$ dengan $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.8

Kurangi $22 x^{2}$ dengan $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.9

Gabungkan $6$ dan $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.2.2

Kalikan $- 11$ dengan $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.11

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.2

Kalikan $- 66$ dengan $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.3

Tambahkan $- 66$ dan $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12.2.2

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12.2.3

Tambahkan $11$ dan $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Langkah 1.12.2.4

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Langkah 1.12.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 60$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1.1

Faktorkan $12$ dari $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Langkah 1.12.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Langkah 1.12.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Langkah 1.12.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5}{12}$

Langkah 1.12.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{12}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{5}{12}$ dan titik yang diberikan $(1, \frac{1}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $\frac{5}{12}$ dengan $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Langkah 2.3.2.5

Tambahkan $5$ dan $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Langkah 3