Kalkulus Contoh

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (2)$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $\frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ ke dalam $x$ .

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan $\frac{1}{5} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{5}$ ke dalam logaritma.

$y = e^{5 \ln (2^{\frac{1}{5}})}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan $5 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Langkah 1.2.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$y = {(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Langkah 1.2.4

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 1.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2^{1}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$y = 2$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{1}{5} \ln (2)$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x}$

Langkah 2.3

Evaluasi turunan pada $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ .

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan $\frac{1}{5} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{5}$ ke dalam logaritma.

$5 e^{5 \ln (2^{\frac{1}{5}})}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $5 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$5 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Langkah 2.4.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$5 {(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Langkah 2.4.4

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 2.4.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \cdot 2^{1}$

Langkah 2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$5 \cdot 2$

Langkah 2.4.6

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$10$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $10$ dan titik yang diberikan $(\frac{1}{5} \cdot \ln (2), 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 10 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (2)))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = 10 x + 10 (- \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $10 (- \ln (2^{\frac{1}{5}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$y - 2 = 10 x - 10 \ln (2^{\frac{1}{5}})$

Langkah 3.3.1.4.2

Sederhanakan $- 10 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ dengan memindahkan $10$ ke dalam logaritma.

$y - 2 = 10 x - \ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{10})$

Langkah 3.3.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{1}{5}})}^{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot 10})$

Langkah 3.3.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot (5 (2))})$

Langkah 3.3.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 2)})$

Langkah 3.3.1.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{2})$

Langkah 3.3.1.5.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (4)$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 10 x - \ln (4) + 2$

Langkah 4