Kalkulus Contoh

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 6$ , $(2, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Langkah 1.2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Langkah 1.2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Langkah 1.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Langkah 1.5.1.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ dengan $2 (x - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ dengan $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.3

Untuk menuliskan $\frac{- x - y}{x - y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x - y) \cdot 2$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.4.1

Kalikan $\frac{- x - y}{x - y}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.7.6.1

Tulis kembali $- (2 x + 2 y + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Langkah 1.5.3.3.7.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (2) + 2 y + 1}{2 ((2) - y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (2) + 2 (4) + 1}{2 ((2) - (4))}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{4 + 2 (4) + 1}{2 (2 - (4))}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- \frac{4 + 8 + 1}{2 (2 - (4))}$

Langkah 1.7.3.3

Tambahkan $4$ dan $8$ .

$- \frac{12 + 1}{2 (2 - (4))}$

Langkah 1.7.3.4

Tambahkan $12$ dan $1$ .

$- \frac{13}{2 (2 - (4))}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- \frac{13}{2 (2 - 4)}$

Langkah 1.7.4.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$- \frac{13}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- \frac{13}{- 4}$

Langkah 1.7.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{13}{4}$

Langkah 1.7.6

Kalikan $- - \frac{13}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{13}{4})$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $\frac{13}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{13}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{13}{4}$ dan titik yang diberikan $(2, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{13}{4} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{13}{4} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = \frac{13}{4} x + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{13}{4}$ dan $x$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 (2)} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{13}{2}$ dan $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13 \cdot - 1}{2}$

Langkah 2.3.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.1

Kalikan $13$ dengan $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13}{2}$

Langkah 2.3.1.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 4 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 8}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 13$ dan $8$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{2}$

Langkah 3