Kalkulus Contoh

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 18$ dan $y = 18$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36 x y$ terhadap $x$ adalah $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 1.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$36 (x y' + y)$

Langkah 1.3.6

Terapkan sifat distributif.

$36 x y' + 36 y$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $36 x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $3 y'$ dari $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 12 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 12 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Langkah 1.5.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Langkah 1.5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 18$ dan $y = 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $18$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $18$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $12 (18) - {(18)}^{2}$ dan ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3.2

Faktorkan $18$ dari $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3.3

Faktorkan $18$ dari $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3.4

Faktorkan $18$ dari $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.5.1

Faktorkan $18$ dari ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

Langkah 1.7.3.5.2

Faktorkan $18$ dari $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

Langkah 1.7.3.5.3

Faktorkan $18$ dari $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Langkah 1.7.3.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Langkah 1.7.3.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

Langkah 1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 1 \cdot 18 + 12$ dan $18 - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Faktorkan $6$ dari $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

Langkah 1.7.4.2

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

Langkah 1.7.4.3

Faktorkan $6$ dari $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

Langkah 1.7.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.4.1

Faktorkan $6$ dari $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

Langkah 1.7.4.4.2

Faktorkan $6$ dari $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

Langkah 1.7.4.4.3

Faktorkan $6$ dari $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Langkah 1.7.4.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Langkah 1.7.4.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

Langkah 1.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 1 \cdot 3 + 2$ dan $3 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

Langkah 1.7.5.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

Langkah 1.7.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Langkah 1.7.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Langkah 1.7.5.5

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(18, 18)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - 18)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $18$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + 18 + 18$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $18$ dan $18$ .

$y = - x + 36$

Langkah 3