Kalkulus Contoh

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = \frac{1}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $1 + e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 e^{x}$ sebagai $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Kurangi $e^{x}$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.6

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.8

Tulis kembali $- (e^{x} x - 1)$ sebagai $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.4.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.1.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Langkah 1.6.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Langkah 1.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{1}{4}$

Langkah 1.6.4

Kalikan $- - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Langkah 1.6.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{4}$ dan titik yang diberikan $(0, \frac{1}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Langkah 3