Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $2$ ke dalam $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Langkah 1.2.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = \frac{1}{27}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ sebagai ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Langkah 2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.6

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Langkah 2.7.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Langkah 2.7.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Langkah 2.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Langkah 2.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Langkah 2.7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Langkah 2.7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4}{27}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{4}{27}$ dan titik yang diberikan $(2, \frac{1}{27})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Langkah 3.3.1.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Langkah 3.3.1.5.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{27}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Langkah 3.3.2.4

Pisahkan pecahan $\frac{- 4 x + 9}{27}$ menjadi dua pecahan.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Langkah 3.3.2.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Langkah 3.3.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Langkah 4