Kalkulus Contoh

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Langkah 1

Tuliskan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = \frac{1}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $\frac{1}{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Langkah 2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Langkah 2.4.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Langkah 2.6.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Langkah 2.6.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Langkah 2.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.6.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{2}$ dan titik yang diberikan $(1, \frac{1}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Langkah 3.3.2.4

Pisahkan pecahan $\frac{- x + 2}{2}$ menjadi dua pecahan.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.5.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Langkah 3.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Langkah 4