Kalkulus Contoh

$x^{3} + y^{3} = 22 x y$ ; $(11, 11)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 11$ dan $y = 11$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (22 x y)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $22$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $22 x y$ terhadap $x$ adalah $22 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$22 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$22 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$22 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 1.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$22 (x y' + y)$

Langkah 1.3.6

Terapkan sifat distributif.

$22 x y' + 22 y$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 22 x y' + 22 y$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $22 x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 22 x y' = 22 y$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 22 x y' = 22 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y' - 22 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 22 x y' = 22 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 22 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 22 x) = 22 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' (- 22 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 22 x) = 22 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} - 22 x) = 22 y - 3 x^{2}$ dengan $3 y^{2} - 22 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} - 22 x) = 22 y - 3 x^{2}$ dengan $3 y^{2} - 22 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 22 x)}{3 y^{2} - 22 x} = \frac{22 y}{3 y^{2} - 22 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 22 x}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2} - 22 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} - 22 x)}{3 y^{2} - 22 x} = \frac{22 y}{3 y^{2} - 22 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 22 x}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{22 y}{3 y^{2} - 22 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 22 x}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{22 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 22 x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{22 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 22 x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 11$ dan $y = 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $11$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{22 y - 3 {(11)}^{2}}{3 y^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $11$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{22 (11) - 3 {(11)}^{2}}{3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $22 (11) - 3 {(11)}^{2}$ dan $3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 3 {(11)}^{2} + 11 \cdot 22}{3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3.2

Faktorkan $11$ dari $- 3 {(11)}^{2}$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11) + 11 \cdot 22}{3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3.3

Faktorkan $11$ dari $11 \cdot 22$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11) + 11 (22)}{3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3.4

Faktorkan $11$ dari $11 (- 3 \cdot 11) + 11 (22)$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11 + 22)}{3 {(11)}^{2} - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.5.1

Faktorkan $11$ dari $3 {(11)}^{2}$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11 + 22)}{11 (3 \cdot 11) - 22 \cdot 11}$

Langkah 1.7.3.5.2

Faktorkan $11$ dari $- 22 \cdot 11$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11 + 22)}{11 (3 \cdot 11) + 11 (- 2 \cdot 11)}$

Langkah 1.7.3.5.3

Faktorkan $11$ dari $11 (3 \cdot 11) + 11 (- 2 \cdot 11)$ .

$\frac{11 (- 3 \cdot 11 + 22)}{11 (3 \cdot 11 - 2 \cdot 11)}$

Langkah 1.7.3.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11 (- 3 \cdot 11 + 22)}{11 (3 \cdot 11 - 2 \cdot 11)}$

Langkah 1.7.3.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 \cdot 11 + 22}{3 \cdot 11 - 2 \cdot 11}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $11$ .

$\frac{- 33 + 22}{3 \cdot 11 - 2 \cdot 11}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $- 33$ dan $22$ .

$\frac{- 11}{3 \cdot 11 - 2 \cdot 11}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $3$ dengan $11$ .

$\frac{- 11}{33 - 2 \cdot 11}$

Langkah 1.7.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $11$ .

$\frac{- 11}{33 - 22}$

Langkah 1.7.5.3

Kurangi $22$ dengan $33$ .

$\frac{- 11}{11}$

Langkah 1.7.6

Bagilah $- 11$ dengan $11$ .

$- 1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(11, 11)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (11) = - 1 \cdot (x - (11))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 11 = - 1 \cdot (x - 11)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - 11)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 11 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 11)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 11 = - 1 \cdot (x - 11)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 11 = - 1 x - 1 \cdot - 11$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 11 = - x - 1 \cdot - 11$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 11$ .

$y - 11 = - x + 11$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $11$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + 11 + 11$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $11$ dan $11$ .

$y = - x + 22$

Langkah 3