Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = \frac{5}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.4.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Langkah 1.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.6.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.6.1.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Langkah 1.6.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Langkah 1.6.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 1.6.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Langkah 1.6.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 1.6.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.6.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Langkah 1.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Langkah 1.6.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{1}{8}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{8}$ dan titik yang diberikan $(4, \frac{5}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{5}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Langkah 3