Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{1 - 3 x}$ , $(- 1, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 - 3 x}$ sebagai ${(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 3 x$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Langkah 1.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Langkah 1.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 1.11

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.12.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.15

Evaluasi turunan pada $x = - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.16.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.16.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.16.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.16.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.16.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.16.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.16.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.16.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Langkah 1.16.1.6

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{3}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.16.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{3}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{3}{4}$ dan titik yang diberikan $(- 1, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = - \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 2 = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $8$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

Langkah 3