Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(18, 6)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 18$ dan $y = 6$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 x}$ sebagai ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $2^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.10

Gabungkan $2^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13

Evaluasi turunan pada $x = 18$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(18)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ dan titik yang diberikan $(18, 6)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (18))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

Langkah 2.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 18$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.2

Pindahkan $18^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18 \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.3

Kalikan $18$ dengan $18^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.3.1

Kalikan $18$ dengan $18^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.3.1.1

Naikkan $18$ menjadi pangkat $1$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1} \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3.1.3.4

Gunakan pangkat dari kaidah hasil bagi $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(\frac{18}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3.1.3.5

Bagilah $18$ dengan $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 9^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3.1.3.6

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3.1.3.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.3.1.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.3.1.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{1}$

Langkah 2.3.1.3.9

Evaluasi eksponennya.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3$

Langkah 2.3.1.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3 + 6$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + 3$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + 3$

Langkah 3