Kalkulus Contoh

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = - 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - 2 x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Langkah 1.2.5

Terapkan sifat distributif.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Langkah 1.3

Karena $- 14$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 14$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $2 x y' + y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Langkah 1.5.2.2

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Langkah 1.5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ dengan $2 x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ dengan $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.4

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.6.1

Tulis kembali $- (y - 1)$ sebagai $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Langkah 1.5.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Langkah 1.7.3

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Langkah 1.7.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{6}{5}$

Langkah 1.7.6

Kalikan $- - \frac{6}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $\frac{6}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{6}{5}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{6}{5}$ dan titik yang diberikan $(2, - 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{6}{5}$ dan $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{6}{5}$ dan $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Langkah 2.3.2.5.2

Kurangi $10$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Langkah 3