Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = \frac{1}{3}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Kurangi $e^{x}$ dengan $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4.4.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.4.4.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Langkah 1.6.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Langkah 1.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Langkah 1.6.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2}{9}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{2}{9}$ dan titik yang diberikan $(0, \frac{1}{3})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{1}{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Langkah 3