Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = - 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Langkah 1.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y y' + 0$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $2 y y'$ dan $0$ .

$2 y y'$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $2 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $2 y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y y'$ dari $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y y'$ dari $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y y'$ dari $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ dengan $y (3 x^{2} y - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ dengan $y (3 x^{2} y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x^{2} y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{3}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

Langkah 1.7.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

Langkah 1.7.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

Langkah 1.7.4.3

Kurangi $2$ dengan $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

Langkah 1.7.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

Langkah 1.7.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{2}{5}$

Langkah 1.7.6

Kalikan $- - \frac{2}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{5}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{2}{5}$ dan titik yang diberikan $(1, - 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

Langkah 2.3.2.5.2

Kurangi $5$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

Langkah 3