Kalkulus Contoh

$y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, - 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = - 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{x^{2} + 1}]$

Langkah 1.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.9

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.11.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.12

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$- \frac{- 2 {(1)}^{2} + 2}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{- 2 \cdot 1 + 2}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.13.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{- 2 + 2}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.13.1.3

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$- \frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 1.13.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{0}{2^{2}}$

Langkah 1.13.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{0}{4}$

Langkah 1.13.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$- 0$

Langkah 1.13.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $0$ dan titik yang diberikan $(1, - 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 1 = 0 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $0$ dengan $x - 1$ .

$y + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - 1$

Langkah 3