Kalkulus Contoh

$y = \sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ , $(0, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $8 x$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$\cos (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.2.5

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (8 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 \cos (8 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\cos (u_{3})$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \cdot 8)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (8 \cdot \cos (8 x))$

Langkah 1.3.7

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$8 \cos (8 x) + 16 \sin (8 x) \cos (8 x)$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$16 \cos (8 x) \sin (8 x) + 8 \cos (8 x)$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$16 \cos (8 (0)) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$16 \cos (0) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$16 \cdot 1 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$16 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.4

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$16 \sin (0) + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.5

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$16 \cdot 0 + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.6

Kalikan $16$ dengan $0$ .

$0 + 8 \cos (8 (0))$

Langkah 1.6.1.7

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$0 + 8 \cos (0)$

Langkah 1.6.1.8

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Langkah 1.6.1.9

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$0 + 8$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$8$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $8$ dan titik yang diberikan $(0, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 8 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 8 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = 8 x$

Langkah 3