Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $1$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Langkah 1.2.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Langkah 1.2.2.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y = 1 + 2$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = 3$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.3.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 2.3.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Langkah 2.3.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Langkah 2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Langkah 2.3.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.13

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Langkah 2.3.14

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.14.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Langkah 2.3.14.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.14.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.14.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.14.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.14.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.14.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.15

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 2.3.16

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.3.17

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.3.18

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.3.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.19.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 2.3.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.3.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.3.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.5

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.6.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.6.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Langkah 2.6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Langkah 2.6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 2.6.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Langkah 2.6.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.6.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Langkah 2.6.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Langkah 2.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{2}$ dan titik yang diberikan $(1, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Langkah 4