Kalkulus Contoh

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Langkah 1.3.3.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$2 y y' + 12$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $2 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $2 y y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $2 y y'$ dari $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ dengan $2 y (2 y^{2} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ dengan $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 0$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2 \cdot 1^{2} - 1$ dengan $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.2.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.3

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.6

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Langkah 1.7.3.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.7.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Langkah 1.7.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Langkah 1.7.3.7.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Langkah 1.7.3.9

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$6 - 0$

Langkah 1.7.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$6 + 0$

Langkah 1.7.4

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$6$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $6$ dan titik yang diberikan $(0, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 6 x + 1$

Langkah 3