Kalkulus Contoh

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 2$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 4 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $3 x^{2} - 4$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 4$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Langkah 1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Langkah 1.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 2$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 2)}^{2}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.4

Kalikan $2^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.5

Faktorkan $2$ dari $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.1.6.3

Bagilah $3 \cdot 2$ dengan $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 - \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.3.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$6 - 1 \cdot 2$

Langkah 1.7.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 - 2$

Langkah 1.7.4

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$4$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $4$ dan titik yang diberikan $(- 2, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $4 \cdot (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y - 1 = 4 x + 8$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 4 x + 8 + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$y = 4 x + 9$

Langkah 3