Kalkulus Contoh

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{π}{4}$ dan $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Langkah 1.3

Evaluasi turunan pada $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Langkah 1.4.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 1.4.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ dan titik yang diberikan $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.1.5.3

Kalikan $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.3.1.5.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.3.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Langkah 2.3.3.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Langkah 2.3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Langkah 2.3.3.6

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Langkah 3