Kalkulus Contoh

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 6$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Langkah 1.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Langkah 1.2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Langkah 1.3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y' - x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ dengan $2 y - x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ dengan $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 x y + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.5.3.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Langkah 1.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.7.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Langkah 1.7.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Langkah 1.7.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Langkah 1.7.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $12$ dan $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Langkah 1.7.5.2

Tambahkan $- 2$ dan $6$ .

$\frac{15}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{15}{4}$ dan titik yang diberikan $(2, 6)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{15}{4}$ dan $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{15}{2}$ dan $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Langkah 2.3.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.1

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Langkah 2.3.1.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 15$ dan $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Langkah 3