Kalkulus Contoh

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x y + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Langkah 1.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $x y' + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x + y)$ sebagai $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Langkah 1.7.3

Hilangkan tanda kurung.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Langkah 1.7.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Langkah 1.7.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{3}$

Langkah 1.7.6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(1, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + 1 + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - x + 2$

Langkah 3