Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \sqrt{x}$ at $(4, 6)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 6$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.13.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.13.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Langkah 1.13.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3}{2^{1 + 1}}$

Langkah 1.13.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3}{2^{2}}$

Langkah 1.13.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{3}{4}$ dan titik yang diberikan $(4, 6)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 6 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Langkah 2.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} - 3$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 6$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 3$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{3}{4} x + 3$

Langkah 3