Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{2 + x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 + x^{3}}$ sebagai ${(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2 + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Langkah 1.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Langkah 1.12.2

Gabungkan $\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13

Evaluasi turunan pada $x = - 1$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2}}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.14.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{3}{2}$ dan titik yang diberikan $(- 1, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 + 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$

Langkah 3