Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2}}{4 + x}$ , $(1, \frac{1}{5})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = \frac{1}{5}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(4 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $4 + x$ .

$\frac{2 \cdot (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{8 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{8 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{8 x + x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.2

Faktorkan $x$ dari $8 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$\frac{x (x + 8)}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 8)}{{((1) + 4)}^{2}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $1 + 8$ dengan $1$ .

$\frac{1 + 8}{{(1 + 4)}^{2}}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{1 + 8}{5^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 + 8}{25}$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$\frac{9}{25}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{9}{25}$ dan titik yang diberikan $(1, \frac{1}{5})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{5}) = \frac{9}{25} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{9}{25} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 + \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} x + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{9}{25}$ dan $x$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{9}{25} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{9}{25}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9}{25}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{5}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5}$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $25$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{5 \cdot 5}$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{25}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9 + 5}{25}$

Langkah 2.3.2.5

Tambahkan $- 9$ dan $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 4}{25}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{4}{25}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{9}{25} x - \frac{4}{25}$

Langkah 3