Kalkulus Contoh

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(4, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali ${(x + 2)}^{2}$ sebagai $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.2

Perluas $(x + 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali ${(y - 3)}^{2}$ sebagai $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Langkah 1.2.5

Perluas $(y - 3) (y - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Langkah 1.2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Langkah 1.2.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.6.1.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Langkah 1.2.6.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $3 y$ dengan $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Langkah 1.2.7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.8.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.10

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.10.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.10.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.10.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.11

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 y$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.11.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.2.12

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Langkah 1.2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.13.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.13.1.1

Tambahkan $2 x + 4$ dan $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Langkah 1.2.13.1.2

Tambahkan $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ dan $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Langkah 1.2.13.2

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Langkah 1.3

Karena $37$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $37$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' - 6 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ dengan $2 (y - 3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ dengan $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2.3

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.5.1

Tulis kembali $- (x + 2)$ sebagai $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Langkah 1.5.3.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(4) + 2}{y - 3}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(4) + 2}{(4) - 3}$

Langkah 1.7.3

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$- \frac{6}{4 - 3}$

Langkah 1.7.4

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$- \frac{6}{1}$

Langkah 1.7.5

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Langkah 1.7.6

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 6$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 6$ dan titik yang diberikan $(4, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 6 \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 6 \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 6$ dengan $- 4$ .

$y - 4 = - 6 x + 24$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 6 x + 24 + 4$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $24$ dan $4$ .

$y = - 6 x + 28$

Langkah 3