Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(8, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 8$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 x}$ sebagai ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $2^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.10

Gabungkan $2^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.12.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.13

Evaluasi turunan pada $x = 8$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(8)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.14.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.14.1.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.14.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Langkah 1.14.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 3}{2}}}$

Langkah 1.14.1.5

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}}$

Langkah 1.14.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 1.14.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.14.1.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Langkah 1.14.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Langkah 1.14.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{1}}}$

Langkah 1.14.1.6.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Langkah 1.14.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{4}$ dan titik yang diberikan $(8, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{4} \cdot (x - (8))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{4} \cdot (x - 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Langkah 2.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Langkah 2.3.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 4 = \frac{x}{4} - 2$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{4} - 2 + 4$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$y = \frac{x}{4} + 2$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{4} x + 2$

Langkah 3