Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Langkah 1.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.4.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.4.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Langkah 1.4.6

Kalikan $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Langkah 1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Langkah 1.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Langkah 1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Langkah 1.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Langkah 1.5.4.2

Perluas $\ln (x^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Langkah 1.5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Langkah 1.5.4.3.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) + 1$

Langkah 1.6

Evaluasi turunan pada $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Langkah 1.7

Log alami dari bilangan negatif tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2

Gradien garisnya tidak terdefinisi, artinya bahwa itu tegak lurus dengan sumbu x di $x = - 1$ .

$x = - 1$

Langkah 3