Kalkulus Contoh

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 4$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Langkah 1.2.4

Karena $- 19$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 19$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tambahkan $2 x - 2 y y' - 3$ dan $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Langkah 1.2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Langkah 1.3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $- 2 y y' = - 2 x + 3$ dengan $- 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 y y' = - 2 x + 3$ dengan $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 4$ dan $y = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Langkah 1.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.4

Untuk menuliskan $- \frac{4}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.5

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 1.7.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 1.7.6.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.7.6.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Langkah 1.7.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Langkah 1.7.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.8.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Langkah 1.7.8.2

Kurangi $3$ dengan $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Langkah 1.7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{11}{6}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{11}{6}$ dan titik yang diberikan $(- 4, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{11}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Langkah 2.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{- 11}{3}$ dan $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Langkah 2.3.1.2.5

Kalikan $- 11$ dengan $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Pindahkan $11$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Langkah 2.3.1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 22$ dan $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Langkah 3