Kalkulus Contoh

$y = \frac{10}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 5)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{10}{1 + e^{- x}}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ sebagai ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 + e^{- x}$ .

$10 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$10 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + e^{- x}$ .

$10 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- 10 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 10$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Langkah 1.5.4

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Langkah 1.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Langkah 1.6.3

Kalikan $10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Gabungkan $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ dan $10$ .

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Langkah 1.6.3.2

Gabungkan $\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ dan $e^{- x}$ .

$\frac{10 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Langkah 1.7

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$\frac{10 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{10 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Langkah 1.8.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Langkah 1.8.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 1.8.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{2^{2}}$

Langkah 1.8.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{10 \cdot 1}{4}$

Langkah 1.8.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$\frac{10}{4}$

Langkah 1.8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 (5)}{4}$

Langkah 1.8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{5}{2}$ dan titik yang diberikan $(0, 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{5}{2} \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{5}{2} \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x$ .

$y - 5 = \frac{5 x}{2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{5 x}{2} + 5$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{5}{2} x + 5$

Langkah 3