Kalkulus Contoh

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 4}$ at $x = 2$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $2$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt[3]{4 + 4}$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$y = \sqrt[3]{8}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3}}$

Langkah 1.2.4

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$y = 2$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2} + 4}$ sebagai ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.10

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Langkah 2.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Langkah 2.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} x$

Langkah 2.11.3

Gabungkan $\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.12

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$\frac{2 (2)}{3 {({(2)}^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3 {(2^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{3 {(4 + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13.2.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{4}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13.2.3

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$\frac{4}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Langkah 2.13.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Langkah 2.13.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{2}}$

Langkah 2.13.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 4}$

Langkah 2.13.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{4}{12}$

Langkah 2.13.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (1)}{12}$

Langkah 2.13.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 2.13.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 2.13.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{1}{3}$ dan titik yang diberikan $(2, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $- 2$ dan $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Langkah 4